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世界是物质的，物质是运动的，运动是有规律的，规律是可以被认识的
\[ g_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}if_i\rightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i \]
证明如下
\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i &=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\sum_{j=0}^i\binom{i}jf_i\\ &=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\binom{i}j\\ &=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}j\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{n-j-i}\binom{n-j}i\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j} \end{aligned} \]
在默认\(0^0=1\)的情况下，显然
\[ \sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j}=f_n\\ f_n=f_n \]
\[ \max(s)=\sum_{t\subseteq s} (-1)^{|t|-1}\min(t)\\ e_\forall(s)=\sum_{t\subseteq s} (-1)^{|t|-1}e_\exists(t)\\ \text{lcm}(s)=\prod_{t\subseteq s} (-1)^{|t|-1}\gcd(t)\\ \]
其中，\(s,t\not=\varnothing\)。
推导第一类
设系数函数\(f\)满足
\[
\max(s)=\sum_{t\subseteq s} f(|t|)\min(t)
\]
考虑\(s\)中第\(x+1\)大元素作为子集的最小值的情况数，显然
\[
\sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=0]\\
f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=0]=(-1)^x
\]
于是\(f(x)=(-1)^{x-1}\)。
扩展
\[
\text{maxk}(s)=\sum_{t\subseteq s} f(|t|)\min(t)
\]
此时需要满足
\[
\sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=k-1]\\
f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=k-1]=(-1)^{x-k+1}\binom{x}{k-1}
\]
即\(f(x)=(-1)^{x-k}\binom{x-1}{k-1}\)。
\[
\text{maxk}(s)=\sum_{t\subseteq s}(-1)^{|t|-k}\binom{|t|-1}{k-1}\min(t)
\]
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