垓下,旅游卫视主持人阿涩,救世英雄无敌版
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
我要评论int isprime(int x) {
if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
for (int i = 2; i < x; i++)
if (x % i == 0) return false;
return true;
}
显然这个算法的复杂度为\(o(n)\)。
我们知道，一个数如果可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于\(sqrt(n)\)，一个大于等于\(sqrt(n)\)。所以，循环没有必要从\(2\)到\(x-1\)，只需要从\(2\)到\(sqrt(n)\)就好了，那么这个算法的时间复杂度就为\(o\left(sqrt(n)\right)\)。
int isprime(int x) {
if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
for (int i = 2; i <= int(sqrt(x)); i++) // 从2到sqrt(x)
if (x % i == 0) return false;
return true;
}
当然，这个算法还可以继续优化，我们可以判断2是不是这个数的约数，然后就可以从\(3\)开始循环到\(sqrt(n)\)了，每次循环\(i+2\)，那么这个算法的复杂度就为\(o(sqrt(n)/2)\)。
int isprime(int x) {
if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
if (x != 2 && x % 2 == 0) return false; // 不是2且能被2整除的数都不是质数
for (int i = 3; i <= int(sqrt(x)); i += 2) // 每次循环加2
if (x % i == 0) return false;
return true;
}
即使是上述的算法，在遇到很大的数字\((n\ge{100,000,000})\)的时候，还是很慢。
那还有没有更快的算法呢？答案是有的，埃拉托斯特尼筛法就是其中之一。
我们可以把从\(2\)到\(maxn\)的数储存为一张表，例如bool prime[maxn];。
然后我们遍历这个数组，把\(i\)的倍数从数组中去掉，这样我们就得到了一张从\(2\)到\(maxn\)的质数的表。
需要判断一个数是否为质数的时候只需要查询这张表就可以了，例如if (prime[i]) // 你的操作。
void getprime(int maxn) {
for (int i = 0; i <= maxn; i++) prime[i] = 1; // 全部定义为质数
prime[0] = prime[1] = 0;
for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
if (!prime[i]) continue;
for (int j = i * 2; j <= maxn; j += i) prime[j] = 0; // i的倍数标记为合数
}
}
素数的四种判断方法、实现及比较：
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