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[P5162] WD与积木

2019年02月11日  | 移动技术网IT编程  | 我要评论

faceforge,三对夫妻,8l9863

每种堆法（理解成名次序列，举例3,3,8,2和7,7,100,2都对应2,2,1,3这个名次序列）等概率出现；题目中“两种堆法不同当且仅当某个积木在两种堆法中处于不同的层中”可见这是个组合问题，于是设一个名次的生成函数f(x)=sum i=1->inf 1*x^i/(i!) 。因为f(x)的常数项为0，有f^inf(x)=0。

名次序列的方案数的生成函数：a(x) = sum i=0->inf f^i(x) = 1/(1-f(x))
名次序列的各种方案的名次个数之和的生成函数：b(x) = sum i=0->inf i*f^i(x) = f(x)/(1-f(x))^2 = a^2(x)-a(x) = a(x)*(a(x)-1)

预处理出a(x)，b(x)的前max_n项系数，对于n，答案为b(x)[n]/a(x)[n]。

注意事项

关于从0开始求和

如果是从1开始的情形：

a(x)=sum i=1->inf f^i(x)
= f(x)*(1-f^inf(x))/(1-f(x))
= f(x)/(1-f(x))
= (1-(1-f(x)))/(1-f(x))
= 1/(1-f(x))-1

b(x)=sum i=1-> inf i*f^i(x)
= ...
= f(x)/(1-f(x))^2-1

抛开a(x)[0]和b(x)[0]，似乎关系并没有什么影响。

关于egf的卷积运算

某个生成函数f(x)=sum i=0->inf a[i]*x^i/(i!)

对于egf意义下的卷积
f(x)*f(x)=sum i=0->inf (sum j=0->i c(i,j)*a[j]*a[i-j]) x^i/(i!)
= sum i=0->inf (sum j=0->i (i!)/(j!)/((i-j)!)*a[j]*a[i-j]) x^i/(i!)
= sum i=0->inf (sum j=0->i a[j]/(j!)*a[i-j]/((i-j)!)) x^i
与在ogf意义下的卷积
f(x)=sum i=0->inf b[i]*x^i ,b[i]=a[i]/(i!)
f(x)*f(x)=sum i=0->inf (sum j=0->i b[j]*b[i-j]) x^i
完全一致.

这告诉我们在使用egf的具体计算时，可以将1/(i!)放到系数中去用一般多项式算法计算得到一个ogf结构，
所得到的函数的各系数再乘上i!就是正确的egf结构下的标志序列了；显然，该性质也适用于egf的连续卷积！

换句话说,egf的标志序列尽管除以一个i!,然后与ogf无异地各种操作,最终结果再让标志序列乘上i!就好了。

代码实现中因为除法关系没有乘上i!。

参考实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int max_n=1e5+10;
const int p=998244353,g=3;

int a[max_n<<2];
int b[max_n<<2];
int c[max_n<<2];
int f[max_n<<2];
int r[max_n<<2];
int frr[max_n];

int qpow(long long x,int y) {
    long long c=1;
    for(; y; y>>=1, x=x*x%p)
        if(y&1) c=c*x%p;
    return c;
}
void ntt(int *a,int lmt,int tp) {
    for(int i=0; i<lmt; ++i) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int m=1; m<lmt; m<<=1) {
        int wm=qpow(g,(p-1)/(m<<1));
        if(tp==-1) wm=qpow(wm,p-2);
        for(int i=0; i<lmt; i+=(m<<1)) {
            long long w=1, tmp;
            for(int j=0; j<m; ++j, w=w*wm%p) {
                tmp=w*a[i+j+m]%p;
                a[i+j+m]=(a[i+j]-tmp+p)%p;
                a[i+j]=(a[i+j]+tmp)%p;
            }
        }
    }
    if(tp==-1) {
        long long tmp=qpow(lmt,p-2);
        for(int i=0; i<lmt; ++i) a[i]=tmp*a[i]%p;
    }
}
void polyrev(int deg,int *a,int *b) {
    if(deg==1) {
        b[0]=qpow(a[0],p-2);
        return;
    }
    polyrev((deg+1)>>1,a,b);
    int lmt=1, l=0;
    while(lmt<(deg<<1)) lmt<<=1, ++l;
    for(int i=0; i<lmt; ++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=0; i<deg; ++i) c[i]=a[i];
    fill(c+deg,c+lmt,0);
    ntt(c,lmt,1), ntt(b,lmt,1);
    for(int i=0; i<lmt; ++i) b[i]=(2ll-1ll*c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p; 
    ntt(b,lmt,-1);
    fill(b+deg,b+lmt,0);
}

int main() {
    long long fac=1;
    for(int i=1; i<max_n; ++i) fac=fac*i%p;
    frr[max_n-1]=qpow(fac,p-2);
    for(int i=max_n-1; i; --i) frr[i-1]=1ll*i*frr[i]%p;
    for(int i=0; i<max_n; ++i) a[i]=p-frr[i];
    a[0]=(a[0]+2)%p;
    polyrev(max_n,a,b);
    for(int i=0; i<max_n; ++i) a[i]=f[i]=b[i];
    int lmt=1;
    while(lmt<=max_n) lmt<<=1; lmt<<=1;
    a[0]=(a[0]+p-1)%p;
    ntt(f,lmt,1), ntt(a,lmt,1);
    for(int i=0; i<lmt; ++i) f[i]=1ll*f[i]*a[i]%p;
    ntt(f,lmt,-1);
    
    int t,n; 
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",1ll*f[n]*qpow(b[n],p-2)%p);
    }
    return 0;
}

感谢@weng_weiji的答疑，思路也是来自于他（她？）的题解；代码参考了@owen_codeisking。
也感谢来自其它大佬的恶意嘲讽

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